《常系数非齐次线性微分方程》的求解思路与方法

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n阶常系数齐次线性微分方程

右边项(系数与上面齐次线性方程相同)为f(x)的n阶常系数非齐次线性微分方程为

基于线性微分方程解的结构，有如下n阶常系数非齐次线性微分方程(**)通解的求解方法与过程：

第一步：用特征方程法求对应常系数齐次线性微分方程的通解

第二步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解

如果右边函数项f(x)不符合标准类型，则需要借助于换元法，或基于叠加原理分解成如下标准类型求解：

情形1

其中P_m(x)是m次多项式。可设特解为

其中k是λ作为齐次线性微分方程特征根的重数，Q_m(x)是m次待定多项式。

情形2

其中P_m(x)为m次多项式，P_s(x)为s次多项式，H_r(x)为r次多项式，β≠0；都可设特解为

其中k是α±βi作为特征根的重数，

Q_m(x)，R_m(x)是m次待定多项式，对于第三种类型m=max{s,r}.

第三步：基于非齐次线性微分方程解的结构性质，写出通解

【注】如果借助叠加原理将f(x)拆分成几个符合以上情形的函数的和，然后分别求特解，则原特解为几个特解的和. 具体参见课件中的例6与练习1.

参考课件节选：

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